题号:15398    题型:解答题    来源:2000年全国硕士研究生招生统一考试数学试题及详细参考解答(数三)
设二维随机变量 $(X, Y)$ 的密度函数为
$$
f(x, y)=\frac{1}{2}\left[\varphi_1(x, y)+\varphi_2(x, y)\right]
$$

其中 $\varphi_1(x, y)$ 和 $\varphi_2(x, y)$ 都是二维正态密度函数,且它们对应的二维随机变量的相关系数分别为 $\frac{1}{3}$ 和 $-\frac{1}{3}$ ,它们的边缘密度函数所对应的随机变量的数学期望都是零,方差都是 1 .
(1) 求随机变量 $X$ 和 $Y$ 的密度函数 $f_1(x)$ 和 $f_2(x)$ 及 $X$ 和 $Y$的相关系数 $\rho$ (可直接利用二维正态密度的性质)
(2) 问 $X$ 和 $Y$ 是否独立? 为什么?
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