设某种元件的使用寿命 $X$ 的概率密度为
$$
f(x, \theta)= \begin{cases}2 e^{-2(x-\theta)}, & x>\theta \\ 0, & x \leq \theta\end{cases}
$$
其中 $\theta>0$ 为未知参数. 又设 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 是 $X$ 的一组样本观测值，求参数 $\theta$ 的最大似然估计.
$\text{A.}$
$\text{B.}$
$\text{C.}$
$\text{D.}$