题号:15345    题型:解答题    来源:2000年全国硕士研究生招生统一考试数学试题及详细参考解答(数一)
某试验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工的人数统计,然后将 $\frac{1}{6}$ 熟练工支援其他生产部门,其缺额由招收新的 $\frac{2}{5}$ 成为熟练工. 设第 $n$ 年一月份统计的熟练工和非熟练工所占百分比分别为 $x_n$ 和 $y_n$ ,记为向量 $\binom{x_n}{y_n}$ :
(1) 求 $\binom{x_{n+1}}{y_{n+1}}$ 与 $\binom{x_n}{y_n}$ 的关系式并写成矩阵形式:
$$
\binom{x_{n+1}}{y_{n+1}}=A\binom{x_{n+1}}{y_{n+1}}
$$

(2) 验证 $\eta_1=\binom{4}{1}, \eta_2=\binom{-1}{1}$ 是 $A$ 的两个线性无关的特征向量,并求出相应的特征值;

(3) 当 $\binom{x_1}{y_1}=\binom{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}$ 时,求 $\binom{x_{n+1}}{y_{n+1}}$.
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