设函数 $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内可导， $f(0)=f(1)=0, f\left(\frac{1}{2}\right)=1$ ，试证:
(1) 存在 $\eta \in\left(\frac{1}{2}, 1\right)$ ，使 $f(\eta)=\eta$ ；
(2) 对任意实数 $\lambda$ ，必存在 $\xi \in(0, \eta)$ ，使得
$$
f^{\prime}(\xi)-\lambda[f(\xi)-\xi]=1
$$
$\text{A.}$
$\text{B.}$
$\text{C.}$
$\text{D.}$