题号:15318    题型:解答题    来源:1999年全国硕士研究生招生统一考试数学试题及详细参考解答(数三)
设函数 $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上连续,在 $(0,1)$ 内可导, $f(0)=f(1)=0, f\left(\frac{1}{2}\right)=1$ ,试证:
(1) 存在 $\eta \in\left(\frac{1}{2}, 1\right)$ ,使 $f(\eta)=\eta$ ;
(2) 对任意实数 $\lambda$ ,必存在 $\xi \in(0, \eta)$ ,使得
$$
f^{\prime}(\xi)-\lambda[f(\xi)-\xi]=1
$$
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