设函数 $y(x)(x \geq 0)$ 二阶可导且 $y^{\prime}(x)>0, y(0)=1$. 过曲线 $y=f(x)$ 上任意一点 $P(x, y)$ 作该曲线的切线及 $x$ 轴的垂线，上述两直线与 $x$ 轴所围成的三角形的面积记为 $S_1$ ，区间 $[0, x]$ 上以 $y=y(x)$ 为曲边的曲边梯形面积记为 $S_2$ ，并设 $2 S_1-S_2$ 恒为 1 ，求此曲线 $y=y(x)$ 的方程.
$\text{A.}$
$\text{B.}$
$\text{C.}$
$\text{D.}$