设 $A$ 为 $n$ 阶非奇异矩阵， $\alpha$ 为 $n$ 维列向量， $b$ 为常量，记分块矩阵 $P=\left[\begin{array}{cc}E & 0 \\ -\alpha^T A^* & |A|\end{array}\right], Q=\left[\begin{array}{ll}A & \alpha \\ \alpha^T & b\end{array}\right]$, 其中 $A^*$ 是矩阵 $A$ 的伴随矩阵， $E$ 为 $n$ 阶单位矩阵.
(1) 计算并化简 $P Q$ ；
(2) 证明: 矩阵 $Q$ 可逆的充分必要条件是 $\alpha^T A^{-1} \alpha \neq b$.