题号:15173    题型:解答题    来源:1997年全国硕士研究生招生统一考试数学试题及详细参考解答(数三)
设 $A$ 为 $n$ 阶非奇异矩阵, $\alpha$ 为 $n$ 维列向量, $b$ 为常量,记分块矩阵 $P=\left[\begin{array}{cc}E & 0 \\ -\alpha^T A^* & |A|\end{array}\right], Q=\left[\begin{array}{ll}A & \alpha \\ \alpha^T & b\end{array}\right]$, 其中 $A^*$ 是矩阵 $A$ 的伴随矩阵, $E$ 为 $n$ 阶单位矩阵.
(1) 计算并化简 $P Q$ ;
(2) 证明: 矩阵 $Q$ 可逆的充分必要条件是 $\alpha^T A^{-1} \alpha \neq b$.
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