设二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2+x_2^2+x_3^2+2 \alpha x_1 x_2$ $+2 \beta x_2 x_3+2 x_1 x_3$ 经正交变换 $X=P Y$ 化成
$$
f=y_2^2+2 y_3^2 \text {, }
$$
其中 $X=\left(x_1, x_2, x_3\right)^T$ 和 $Y=\left(y_1, y_2, y_3\right)^T$ 是三维列向量， $P$ 是 3 阶正交矩阵，试求常数 $\alpha, \beta$.
$\text{A.}$
$\text{B.}$
$\text{C.}$
$\text{D.}$