设:
(1) 函数 $y=f(x)(0 \leq x < \infty)$ 满足条件 $f(0)=0$和 $0 \leq f(x) \leq e^x-1$ ；
(2) 平行于 $y$ 轴的动直线 $M N$ 与曲线 $y=f(x)$ 和 $y=e^x-1$ 分别交于点 $P_1$ 和 $P_2$ ；
(3) 曲线 $y=f(x)$ 、直线 $M N$ 与 $x$ 轴所围封闭图形的面积 $S$ 恒等于线段 $P_1 P_2$ 的长度. 求函数 $y=f(x)$ 的表达式.
$\text{A.}$
$\text{B.}$
$\text{C.}$
$\text{D.}$