试证明 $n$ 维列向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 线性无关的充分必要条件是

$D=\left|\begin{array}{cccc}\alpha_1^T \alpha_1 & \alpha_1^T \alpha_2 & \cdots & \alpha_1^T \alpha_n \\ \alpha_2^T \alpha_1 & \alpha_2^T \alpha_2 & \cdots & \alpha_2^T \alpha_n \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \alpha_n^T \alpha_1 & \alpha_n^T \alpha_2 & \cdots & \alpha_n^T \alpha_n\end{array}\right| \neq 0$,

其中 $\alpha_i^T$ 表示列向量 $\alpha_i$ 的转置， $i=1,2, \cdots, n$.