题号:14598    题型:解答题    来源:2024年重庆市初中毕业水平暨高中招生考试(A卷)
在学习了矩形与菱形的相关知识后, 小明同学进行了更深入的研究, 他发现, 过矩形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线, 与矩形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形, 可利用证明三角形全等得到此结论. 根据他的想法与思路, 完成以下作图与填空:


(1) 如图, 在矩形 $A B C D$ 中, 点 $O$ 是对角线 $A C$ 的中点. 用尺规过点 $O$ 作 $A C$ 的垂线, 分别交 $A B, C D$于点 $E, F$, 连接 $A F, C E$. (不写作法, 保留作图痕迹)
(2) 已知: 矩形 $A B C D$, 点 $E, F$ 分别在 $A B, C D$ 上, $E F$ 经过对角线 $A C$ 的中点 $O$, 且 $E F \perp A C$. 求证: 四边形 $A E C F$ 是菱形.

证明: $\because$ 四边形 $A B C D$ 是矩形,
$\therefore A B / / C D$.
$\therefore \underline{ ① }, \angle O C F=\angle O A E$.
$\because$ 点 $O$ 是 $A C$ 的中点,
$\therefore$( ② ).

$$
\therefore \triangle C F O \cong \triangle A E O \text { (AAS). }
$$
$\therefore$ ( ③ ).
又 $\because O A=O C$,
$\therefore$ 四边形 $A E C F$ 是平行四边形.
$$
\because E F \perp A C \text {, }
$$
$\therefore$ 四边形 $A E C F$ 是菱形.
进一步思考, 如果四边形 $A B C D$ 是平行四边形呢? 请你模仿题中表述, 写出你猜想的结论: (④).
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