在平面直角坐标系 $x O y$ 中, 以坐标原点 $O$ 为极点, $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线 $C$ 的极坐标方程为 $\rho=\rho c$ $\operatorname{os} \theta+1$.
（1）写出 $C$ 的直角坐标方程;
(2) 直线 $l:\left\{\begin{array}{l}x=t \\ y=t+a\end{array}\right.$ ( $t$ 为参数 $)$, 若 $C$ 与 $l$ 交于 $A 、 B$ 两点, $|A B|=2$, 求 $a$ 的值.
$\text{A.}$
$\text{B.}$
$\text{C.}$
$\text{D.}$