已知某商品的需求量 $D$ 和供给量 $S$ 都是价格 $p$ 的函数:
$$
D=D(p)=\frac{a}{p^2}, S=S(p)=b p ，
$$

其中 $a>0$ 和 $b>0$ 是常数. 价格 $p$ 是时间 $t$ 的函数，且满足方程 $\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{~d} t}=k[D(p)-S(p)],(k$ 是常数 $)$ ，假设当 $t=0$ 时价格为 1 . 试求:
(1) 需求量等于供给量时的均衡价格 $P_e$;
(2) 价格函数 $p(t)$ ；
(3) 极限 $\lim _{t \rightarrow \infty} p(t)$.