如图, $\triangle A B C$ 中, $A C=B C, \angle A C B=90^{\circ}, A(-2,0), C(6,0)$, 反比例函数 $y=\frac{k}{x}$ $(k \neq 0, x>0)$ 的图象与 $A B$ 交于点 $D(m, 4)$, 与 $B C$ 交于点 $E$.
(1) 求 $m, k$ 的值；
(2) 点 $P$ 为反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k \neq 0, x>0)$ 图象上一动点 (点 $P$ 在 $D, E$ 之间运动, 不与 $D, E$ 重合), 过点 $P$ 作 $P M \| A B$, 交 $y$ 轴于点 $M$, 过点 $P$ 作 $P N \| x$ 轴, 交 $B C$ 于点 $N$, 连接 $M N$, 求 $\triangle P M N$ 面积的最大值, 并求出此时点 $P$ 的坐标.