如图 1, 是某款手机支架摆放手机时的侧面示意图, 数学学习小组想要测量此支架的最高点到桌面的高度, 他们绘制了图 2 所示的侧面的截面图. 现测得支撑板 $B D=8 \mathrm{~cm}, A B=12 \mathrm{~cm}$, $\angle A B D=105^{\circ}, \angle B D Q=60^{\circ}$, 底座四边形 $E F P Q$ 为矩形, $E F=1 \mathrm{~cm}$. 求手机支架最高点 $A$到桌面 $P F$ 的距离. (结果精确到 $1 \mathrm{~cm}$, 参考数据: $\sqrt{2} \approx 1.41, \sqrt{3} \approx 1.73$ )