已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_n=\left\{\begin{array}{l}1, n=1 \\ \log _n(n+1), n \geqslant 2, n \in \mathbf{N}^*\end{array}\right.$, 定义使 $a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \cdots \cdots \cdot a_k\left(k \in \mathbf{N}^*\right)$ 为整数的 $k$ 叫做 “幸福数”, 则区间 $[1,2022]$ 内所有 “幸福数” 的和为