如图, 已知直线 $y=2 x+2$ 与抛物线 $y=a x^2+b x+c$ 相交于 $A, B$ 两点, 点 $A$ 在 $x$ 轴上, 点 $B$ 在 $y$ 轴上, 点 $C(3,0)$ 在抛物线上.
(1) 求该抛物线的表达式；
(2) 正方形 $O P D E$ 的顶点 $O$ 为直角坐标系原点, 顶点 $P$ 在线段 $O C$ 上, 顶点 $E$ 在 $y$ 轴正半轴上, 若 $\triangle A O B$ 与 $\triangle D P C$ 全等, 求点 $P$ 的坐标;
(3) 在条件 (2) 下, 点 $Q$ 是线段 $C D$ 上的动点 (点 $Q$ 不与点 $D$ 重合), 将 $\triangle P O D$ 沿 $P Q$ 所在的直线翻折得到 $\triangle P O D^{\prime}$, 连接 $A D^{\prime}$, 求 $A D^{\prime}$ 长度的取值范围.