如图, 已知: Rt $\triangle A B C$ 中, $\angle B A C=90^{\circ}, A B=A C$, 点 $D$ 是 $B C$ 的中点, 点 $P$ 是 $B C$ 边上的一个动点.
(1) 如图 1, 若点 $P$ 与点 $D$ 重合, 连接 $A P$, 则 $A P$ 与 $B C$ 的位置关系是
(2) 如图 2, 若点 $P$ 在线段 $B D$ 上, 过点 $B$ 作 $B E \perp A P$ 于点 $E$, 过点 $C$ 作 $C F \perp A P$ 于点 $F$, 则 $C F, B E$ 和 $E F$ 这三条线段之间的数量关系是
(3) 如图3, 在 ( 2 ) 的条件下, 若 $B E$ 的延长线交直线 $A D$ 于点 $M$, 求证: $C P=A M$ ；
(4) 如图 4 , 已知 $B C=4$, 若点 $P$ 从点 $B$ 出发沿着 $B C$ 向点 $C$ 运动, 过点 $B$ 作 $B E \perp A P$ 于点 $E$, 过点 $C$ 作 $C F \perp A P$ 于点 $F$, 设线段 $B E$ 的长度为 $d_1$, 线段 $C F$ 的长度为 $d_2$, 试求出点 $P$ 在运动的过程中 $d_1+d_2$ 的最大值.