解答题 （共 14 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} \dfrac{1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n^2-1}+\frac{1}{n^2}}{n \ln n}$
求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} n^2\left(n \sin \frac{1}{n}-1\right)$
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt[3]{1+\tan ^2 x}-\sqrt{\cos x}}{x \sin x}$
计算 $\lim _{n \rightarrow \infty} \int_0^1 x^n \cos \left(1+x^2\right) \mathrm{d} x$
计算 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}\left(\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{2 n^2-1}}+\frac{1}{\sqrt{2 n^2}}\right)$
已知函数 $u=u(x, y), v=v(x, y)$, 满足
$$
\left\{\begin{array}{l}
x u-y v=0 \\
y x+x v=2
\end{array}\right.
$$
在 $\left(x_0, y_0, u_0, v_0\right)=(1,1,1,1)$ 的某个邻域内定义的隐函数, 求 $\frac{\partial x}{\partial x}(1,1), \frac{\partial x}{\partial y}(1,1), \frac{\partial v}{\partial x}(1,1), \frac{\partial v}{\partial y}(1,1)$.
求曲面 $\left\{\begin{array}{l}2 z=x^2+y^2 \\ z=\sqrt{x^2+y^2}\end{array}\right.$ 所围区域的体积.
求第二型曲线积分 $\int_L \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{2 x^2+y^2}$, 其中 $L$ 为圆周 $x^2+y^2=1$, 方向为逆时针.
求 $f(x, y)=2 x^2+4 x y-2 y^2$ 在闭区域 $D=\left\{(x, y) ; x^2+y^2 \leq 5\right\}$ 上的最大值和最小值.
求级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n \cdot 2^n}$ 的和.
设 $a_n=\left(1-\frac{2 \ln (\ln n)}{n}\right)^n$, 判断级数 $\sum_{n=2}^{\infty} a_n$ 的敛散性.
证明：
$$
\lim _{h \rightarrow 0^{+}} \int \frac{h}{h^2+x^2} \ln \left(x^2+2\right) \mathrm{d} x=\frac{\pi}{2} \ln 2
$$
$f(x)$ 为 $[0,2]$ 上的 $C^2$ 函数, 且 $f(0)=f(2)=0$, 证明:
$$
\int_0^2 f(x) \mathrm{d} x \leq \frac{2}{3} \max _{x \in[0,2]}\left|f^{\prime \prime}(x)\right|
$$
设 $f$ 为定义在 $\mathbb{R}^n$ 上的函数.
(1) 函数 $f$ 不一致连续的充分必要条件是: 存在点列 $\left\{x^{(n)}\right\}$ 和 $\left\{y^{(n)}\right\}$ 和常数 $a$, 其中有 $\lim _{n \rightarrow \infty}|| x^{(n)}-y^{(n)} \|=0$, 但对 $n=1,2, \cdots$, 都有 $\left|F\left(x^{(n)}\right)-F\left(y^{(n)}\right)\right| \geq a$.
(2) 若 $F\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)=f\left(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2\right), f$ 在 $[0,+\infty)$ 上连续可导, 若 $\lim _{t \rightarrow+\infty} f^{\prime}(t)=b \neq 0$, 证明: $F$ 在 $\mathbb{R}^n$ 上不一致连续.